Thibaut Benjamin http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/index/ index /cours-polytech-peip2-algo/index/ Cours d'algorithmique et complexité Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003K/ 003K /cours-polytech-peip2-algo/003K/ Structure du cours Ce document est un cours d'algorithmique pour la deuxième année de prépa intégrée à l'école d'ingénieur Polytech Paris-Saclay. Il est conçu à l'aide de l'outil forester, et a une structure qui peut sembler atypique. Il est en effet constitué de nombreuses "notes atomiques" (c'est-à-dire des notes présentant chacune une seule idée), constituant l'ensemble des connaissances attendues. Le document que vous lisez regroupe toutes ces notes, qui servent à la fois de cours et de base de données de connaissances. Il est donc attendu que le lecteur puisse lire le cours en sautant d'une note à l'autre, en suivant les liens contenus dans ces dernières, lorsque cela semble pertinent ou nécessaire. Le dernier chapitre de ce document constitue une référence sur les notions importantes que nous allons étudier et utiliser tout au long du cours. Il n'a pas vocation à être lu de bout-en-bout, mais à servir de point d'ancrage auquel se référer tout au long de ce cours. Il ne faudra donc pas hésiter à sauter à ce chapitre au cours de la lecture autant que nécessaire. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003L/ 003L /cours-polytech-peip2-algo/003L/ Contribuer Les contributions sont bienvenues, de la part de tout le monde! Le cours entier est en ligne sur github, et il suffit d'ouvrir une merge request pour proposer un changement. Si vous ne savez pas comment faire, vous pouvez contacter Thibaut Benjamin La page du cours La page des TD/TP La page des slides de cours Recueil d'examens passés La page du cours d'option S3 References Context Backlinks Related Thibaut Benjamin 2025 12 10 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006J/ 006J /cours-polytech-peip2-algo/006J/ Recueil d'examens Cette page est un recueil d'examens sur lesquels vous entraîner. 2025 Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/005T/ 005T /cours-polytech-peip2-algo/005T/ Cours d'informatique Option S3 Cette page est consacrée au matériel du cours d'option informatique qui fait suite au cours d'informatique du semestre 3. Ce cours constitue une petite introduction au sujet de la vérification de programmes. Cours 1: Présentation, et terminaison des boucles Cours 2: Contrats de fonctions et terminaison des fonctions récursives Cours 3: Invariants de boucles et preuves de programmes itératifs TP1: Preuves d'implémentations du tri par insertion correction TP2: Preuves d'implémentations du tri par sélection correction TP3 (Bonus): Preuves d'implémentations du tri fusion correction Sujet d'examen 🔒 Sujet d'examen annexe fichier Wh3 Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003M/ 003M /cours-polytech-peip2-algo/003M/ Les diapositives de cours Cette page recense les diapositives de cours. Amphi 1: Introduction et rappels de Amphi 2: Les bases de la complexité et premiers algorithmes de tri Amphi 3: Récursivité et complexité des fonctions récursives Amphi 4: Sujets d'algorithmique plus avancés Thibaut Benjamin Abdounour Misbah Violette Chateau 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/Cours/ Cours /cours-polytech-peip2-algo/Cours/ Cours d'algorithmique PEIP2 Thibaut Benjamin Abdounour Misbah 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0001/ 0001 /cours-polytech-peip2-algo/0001/ Rappels d'algorithmique et bases de la programmation Ce chapitre joue rôle multiple. Tout d'abord il a pour but de rappeler les notions d'algorithmique vues dans les cours précédents et de faire un panorama global des sujets auxquels un cours d'algorithmique s'intéresse. Ensuite, il sert à établir les objectifs de ce cours, et exposer les "règles du jeu" en établissant les limites que nous étudierons dans ce cours. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0002/ 0002 /cours-polytech-peip2-algo/0002/ Qu'est-ce qu'un algorithme? Ce cours est consacré aux algorithmes. La question de définir les algorithmes, et d'étudier leurs limite dépasse les attendus de ce cours. Il est néanmoins intéressant de commencer par une brève discussion pour comprendre de quoi l'on parle. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0003/ 0003 /cours-polytech-peip2-algo/0003/ Algorithme (Définition informelle) Définition Un algorithme est une séquence d'opérations élémentaires à effectuer afin d'obtenir un résultat précis. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0004/ 0004 /cours-polytech-peip2-algo/0004/ Algorithmes et recettes de cuisine Une analogie que l'on donne couramment est celle d'une recette de cuisine: La recette donne typiquement une série d'instruction que le cuisinier va suivra afin de réaliser son plat (Ex: Faire bouillir de l'eau, ajouter une pincée de sel, ajouter 500g de pates, laisser bouillir pendant 12 min, égouter les pates). Cette analogie nous permet aussi de comprendre ce que l'on entend par "opération élémentaire": un cuisinier débutant aura besoin de la recette pour faire cuire les pates, tandis qu'un cuisinier chevroné se contentera d'une seule étape: "faire cuire des pates". Contrairement à ce que l'analogie des recettes de cuisine laisse penser, on s'intéresse ici à des algorithmes permettant de réaliser la même opération sur différentes données. Par exemple, lorsque l'on parle d'algorithme pour trier un tableau, on voudra utilier le même algorithme pour trier le tableau et le tableau . On dit alors que le tableau est une entrée de l'algorithme. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0005/ 0005 /cours-polytech-peip2-algo/0005/ Les opérations élémentaires La définition informelle d'algorithme que l'on a donné a ses limites: on n'a pas défini ce que sont les opérations élémentaires. Donner une définition exacte est l'objet d'un cours de théorie de la calculabilité. Pour notre usage, on se limitera à l'intuition que les opérations élémentaires sont les opérations qu'un ordinateur peut réaliser de manière très simple et très rapide, comme par exemple additionner deux nombres. On verra que selon les cas, on pourra prendre quelques libertés et considérer des opérations plus complexes comme élémentaire, tout en restant conscient du temps que ces dernière prennent. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0008/ 0008 /cours-polytech-peip2-algo/0008/ La complexité des algorithmes De manière générale, étant donné un algorithme on s'intéresse à savoir s'il va s'exécuter en pratique même lorsqu'on l'appelle sur des entrées de grande taille. Si l'algorithme que l'on a écrit est correct, la validité du résultat ne dépend pas de la taille de ses entrées, et donc, si l'algorithme est correct et qu'il renvoie un résultat, ce résultat sera correct, même sur des données de grande taille. En revanche, il est possible que l'on n'arrive pas à obtenir de résultat. Cela peut être dû à deux problèmes: L'algorithme prend trop de temps à s'exécuter: il faudrait attendre très longtemps pour obtenir un résultat: Si c'est plusieurs heures, on peut l'envisager. Si c'est plusieurs années, il est peut être encore possible de résoudre le problème en passant sur une machine plus puissante. Au delà de plusieurs siècles on n'a plus vraiment de solution, et dans les pire cas, il faudrait attendre plus longtemps que l'âge de l'univers! L'algorithme est trop gourmand en ressource: il est possible que l'algorithme remplisse complètement la mémoire vive de notre ordinateur, et est contraint de s'arrêter sans produire de résultat, faute de mémoire disponible. Dans les cas les plus bénins, on peut utiliser une machine plus puissante, mais dans les cas les plus extrêmes, l'aglorithme peut demander plus de RAM que tout ce qui a été produit depuis le début de l'humanité! Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0006/ 0006 /cours-polytech-peip2-algo/0006/ Complexité en temps et en espace La complexité en temps est l'évaluation quantitative du temps que va prendre un algorithme pour s'exécuter lorsque ses entrées deviennent très grandes, et la complexité en espace est l'évaluation quantitative de la mémoire dont un algorithme va avoir besoin pour s'exécuter lorsque ses entrées deviennent très grandes. Il est souvent possible de jongler avec ces deux paramètres. On se trouve régulièrement face à un choix, où quitte à utiliser plus de mémoire, l'on peut diminuer le temps d'exécution, ou inversement, l'on peut diminuer la consommation mémoire au prix d'un algorithme plus lent à s'exécuter. Il n'y a pas toujours de "bon choix", tout dépend des contraintes auxquelles on fait face (de quelle machine on dispose, de combien de temps on a). Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0009/ 0009 /cours-polytech-peip2-algo/0009/ Complexité asymptotique On parle en général de complexité "lorsque les entrées deviennent très grande", ce que l'on résume souvent par le mot asymptotique. Sur une machine moderne, et avec des petites entrées, la majorité des algorithmes s'exécutent très rapidement, et il n'y a pas beaucoup d'intérêt à évaluer la complexité. En revanche lorsque l'on répète les opérations un grand nombre de fois et que les entrées que l'on traite deviennent très grandes, des différences importantes peuvent se faire sentir, et c'est là que les paramètres peuvent devenir limitant. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000A/ 000A /cours-polytech-peip2-algo/000A/ Complexité en temps Dans ce cours, on s'intéresse principalement à la complexité en temps, même s'il est utile de garder en tête la notion complexité mémoire, et la possibilité de jongler entre les deux. Par la suite, lorsque l'on parle de complexité sans plus de précision, il s'agira toujours de complexité en temps. Il est très difficile de calculer exactement a priori combien de temps un algorithme va mettre pour s'exécuter suivant la taille de ses entrées. C'est pourquoi on utilise un proxy. C'est à dire que l'on va compter à la place le nombre d'opérations élémentaires qu'un algorithme doit effectuer, et on va contenter de l'approximation que plus on doit effectuer d'opérations élémentaires, plus l'algorithme va prendre de temps à s'exécuter Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0007/ 0007 /cours-polytech-peip2-algo/0007/ Complexité d'un algorithme Définition La complexité d'un algorithme est le nombre d'opérations élémentaire que cet algorithme doit réaliser en fonction de ses entrées. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000B/ 000B /cours-polytech-peip2-algo/000B/ Limites à la notion de complexité Dans la réalité, toutes les opérations élémentaires ne prennent pas nécessairement le même temps exactement. Avec un peu d'habitude, vous verrez qu'il est souvent plus pertinent de définir quelles vont être les opérations coûteuses et limitantes, et de se concentrer à compter ces opérations, plutôt que de compter absolument toutes les opérations. Cela va de paire avec le fait que l'on ne s'intéresse pas en général au compte exact des opérations, mais on souhaite en avoir un ordre de grandeur Thibaut Benjamin Abdounour Misbah 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000R/ 000R /cours-polytech-peip2-algo/000R/ Terminaison et correction des algorithmes Il existe trois notions fondamentales en algorithmique : la terminaison, la correction partielle et la complexité. Thibaut Benjamin 2025 12 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/005R/ 005R /cours-polytech-peip2-algo/005R/ Implémentation mémoisée des suites de Fibonacci Exercice Pour cette exercice, on utilisera les grands entiers. L'objectif ici est d'implémenter l'algorithme de calcul des suites de Fibonacci grâce à la mémoisation. On rappelle que pour cela on placera les valeurs dans un tableau de grands entiers memo, de telle sorte que memo[n] contienne la valeur de fibonacci(n) si ce dernier a déjà été calculé, ou sinon. Ecrire une fonction fibonacciMemoAux prenant en argument un entier et un tableau de grands entiers memo contenant le calcul mémoisé, et renvoyant le nombre de Fibonacci, calculé de manière récursive avec mémoisation. Pensez à bien ajouter le résultat de votre calcul au tableau de mémoisation, si celui n'a pas déjà été mémoisé. Ecrire une fonction fibonacciMemo prenant en argument un entier et renvoyant un grand entier égal au nombre de Fibonacci calculé avec mémoisation, en appelant la fonction précédente. Pour cela il faudra créer un tableau de mémoisation de la bonne taille et l'initialiser correctement. Rappeler la complexité de cette fonction vue en amphi. Mesurer le temps mis par cette fonction sur des entrées de tailles diverses et tracer une courbe. Arrêtez vous dès que la fonction dépasse 10 secondes. Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0068/ 0068 /cours-polytech-peip2-algo/0068/ Correction partielle d'un algorithme Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0069/ 0069 /cours-polytech-peip2-algo/0069/ Immersion dans le concept de correction partielle Imaginons que vous êtes un grand paresseux, tellement paresseux que vous avez la flemme de faire une addition ! Votre ami sympa vous donne une calculatrice pour faire les additions à votre place. Bien sûr, vous êtes tout content. Vous commencez alors : vous tapez et la calculatrice vous répond . Qu'en pensez-vous ? Est-ce une calculatrice fiable ? Lorsque l'on écrit un algorithme, il faut s'assurer que celui-ci fasse exactement ce qu'on veut. Par exemple, qu'un aspirateur aspire la poussière (mais pas qu'il sèche le linge !). C'est tout le principe de la correction partielle Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006A/ 006A /cours-polytech-peip2-algo/006A/ Correction partielle Définition informelle Prouver la correction partielle d'un algorithme, c'est affirmer que l'algorithme renvoie toujours le bon résultat (autrement dit, la bonne réponse). Cette définition est imprécise. Pour la rendre complète, il faudrait être capable de définir exactement ce qu'un algorithme est censé faire ("le bon résultat"). C'est l'objet d'un champ d'étude appelé spécification des logiciels. Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006B/ 006B /cours-polytech-peip2-algo/006B/ Les invariants de boucle pour la correction partielle Prouver la correction des algorithmes est un sujet très vaste et complexe, qui constitue un champ d'étude à lui tout seul. On ne va donner ici qu'un tout petit exemple de méthode pour aider à prouver la correction partielle d'un algorithme: les invariants de boucles. Il s'agit d'une méthode qui comme son nom l'indique est particulièrement utile en présence de boucles. Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006C/ 006C /cours-polytech-peip2-algo/006C/ Invariants de boucle Définition Un invariant de boucle est une propriété associée à une boucle, et qui vérifiée au début et à la fin de chaque passage de la boucle. Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006D/ 006D /cours-polytech-peip2-algo/006D/ Les invariants de boucle en pratique Trouver un invariant de boucle permet de prouver la correction partielle d'un programme avec un procédé proche du raisonnement par récurrence en mathématiques: Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie avant d'entrer dans la boucle Hérédité : on suppose que la propriété est vraie à l'issue de la i-ème opération et on vérifie qu'elle reste vraie à la (i+1)-ème itération. Conclusion : la propriété est donc vraie en sortant de la boucle En pratique, lorsque l'on dit que est un invariant pour la boucle, cela veut dire qu'il satisfait l'initialisation et l'hérédité, et on en déduit donc immédiatement la conclusion. Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006E/ 006E /cours-polytech-peip2-algo/006E/ Invariant de boucle Exemple On considère le programme suivant: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); using namespace std; // Renvoie le minimum d'un tableau de taille n int minimum(int tab[],int n){ //On suppose que tab est de taille n int mini = tab[0]; for(int i=1;i On choisit la propriété suivante: = mini contient le minimum parmi les première entrées du tableau Au début du premier passage dans la boucle (lorsque i=1), la propriété est vérifiée, car mini = tab[0], qui est le minimum parmi la première entrée du tableau. Supposons que est vraie pour au début de l'entrée dans la itération de la boucle. A ce moment, la variable i vaut . L'affectation assure que mini qu'à la fin de la itération mini contient le minimum entre la valeur de mini et tab[k], ce qui est le minimum parmi les . On remarque également que la variable i vaut maintenant , et on a bien toujours On en conclut que est vraie à la sortie de la boucle. En sortie de la boucle, i=n, et donc on vient de prouver qu'en sortie de boucle on a "mini contient le minimum parmi les première entrée du tableau". Comme le tableau est de taille , il s'agit bien du minimum de tout le tableau. On vient de prouver la correction partielle de cet algorithme. Abdounour Misbah Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006F/ 006F /cours-polytech-peip2-algo/006F/ Correction totale La correction totale d'un algorithme est sa terminaison plus sa correction partielle. On a présenté ici les deux comme séparées, mais en pratique, il est courant que pour prouver la terminaison, on ait besoin d'une partie de la correction partielle et vice et versa, ce sont deux choses que l'on étudie souvent conjointement. Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000S/ 000S /cours-polytech-peip2-algo/000S/ Premiers exemples: algorithmes itératifs, tableaux, et algorithmes de tri Cette section introduit les premiers exemples d'algorithmes, et les utilise comme exemple pour présenter les premières analyses de complexité. Pour bien comprendre cette section, il ne faudra hésiter à se référer aux notions mathématiques utilisées pour l'analyse de complexité. On passe ensuite aux tableaux, pour lesquels on présente la syntaxe, quelques programmes pour lesquels on profite pour faire des analyses de complexité. Finalement, on présente quelques algorithmes de tris, qui sont un très bon exemple pour s'entraîner aux calculs de complexité. Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000T/ 000T /cours-polytech-peip2-algo/000T/ On commence en douceur: boucles et conditionnelles Commençons avec les premiers exemples d'algorithmes que nous allons analyser. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001G/ 001G /cours-polytech-peip2-algo/001G/ Calcul de la somme de entiers positifs On va comparer deux algorithmes pour calculer la somme de deux entiers positifs Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001H/ 001H /cours-polytech-peip2-algo/001H/ Calcul de la somme de deux entiers positifs (directement) Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001I/ 001I /cours-polytech-peip2-algo/001I/ Calcul de la somme de deux entiers positifs (avec une boucle) Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); 0){ x = x + 1; y = y - 1; } return x; }]]> Lorsque les deux nombres donnés sont positifs, les deux algorithmes permettent effectivement de calculer la somme des deux nombres. Pour évaluer la complexité, on va compter le nombre d'additions effectué par chacuns des deux algorithmes. Le premier algorithme effectue une seule addition x+y pour renvoyer le résultat, il est donc en temps constant. Le second algorithme effectue deux additions par passage dans la boucle (x = x + 1 et y = y - 1). A chaque passage dans la boucle, la variable y est décrémentée de , et on s'arrête lorsque l'on atteint . Il y a donc autant de passages dans la boucle que la valeur initiale de y. On dira que le second algorithme est en , ou encore linéaire en son second argument. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001K/ 001K /cours-polytech-peip2-algo/001K/ Calcul du produit de deux entiers positifs Exercice Comparer les deux algorithmes suivant pour calculer le produit de deux nombres entiers positifs, et évaluer leur complexité. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001L/ 001L /cours-polytech-peip2-algo/001L/ Calcul du produit de deux entiers positifs (directement) Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001M/ 001M /cours-polytech-peip2-algo/001M/ Calcul de la somme de deux entiers positifs (avec une boucle) Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); 0){ result = result + x; y = y - 1; } return result; }]]> Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001N/ 001N /cours-polytech-peip2-algo/001N/ Algorithme mystère (ou de l'importance de bien spécifier les algorithmes que l'on écrit) Exercice On considère l'algorithme suivant: Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001O/ 001O /cours-polytech-peip2-algo/001O/ Mysère Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); = 1 // Sortie: Un booléen mystère bool mystere (int n){ int i = 2; bool r = true; while (i < n && r){ if (n%i == 0) { r = false; } i = i+1; } return r; }]]> Que renvoie cet algorithme? Quelle est sa complexité? Comment l'améliorer, et quelle est la complexité resultante? Remarquez qu'il est beaucoup plus difficile de comprendre un algorithme lorsqu'on ne sais pas ce qu'il est censé faire, ni à quoi correspondent les variables mises en jeu. Cela illustre la remarque suivante Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001Y/ 001Y /cours-polytech-peip2-algo/001Y/ Conventions de nommage Remarque Il est important de donner des noms raionnables aux variables, de manière à indiquer ce qu'elles sont censées représenter. Cela rend l'algorithme bien plus compréhensible. Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001P/ 001P /cours-polytech-peip2-algo/001P/ Enumérations Recueil d'exercices Voici maintenant une collection d'exercices visant à énumérer tous les nombres satisfaisant certaines propriétés. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001Q/ 001Q /cours-polytech-peip2-algo/001Q/ Enumération des entiers pairs Exercice Ecrire un algorithme prenant en entrée un entier n positif et qui affiche tous les entiers pairs de taille inférieur ou égale à n Analyser la complexité de cet algorithme Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001R/ 001R /cours-polytech-peip2-algo/001R/ Enumération des carrés parfaits Exercice Ecrire un algorithme prenant en entrée un entier n positif et qui affiche tous les entiers carrés parfaits taille inférieur ou égale à n Analyser la complexité de cet algorithme Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001S/ 001S /cours-polytech-peip2-algo/001S/ Enumération des nombres triangulaires Exercice Rappel: Un nombre triangulaire est un nombre de la forme Ecrire un algorithme prenant en entrée un entier positif et qui affiche tous les nombres triangulaires de taille inférieur ou égale à Analyser la complexité de cet algorithme Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001T/ 001T /cours-polytech-peip2-algo/001T/ Calcul de logarithme Exercice Ecrire un algorithme qui prend en entrée deux nombres entiers avec 1]]> et qui retourne la partie entière de à l'aide d'une boucle. Indice: On rappelle que c'est le plus grand entier tel que . Quelle est la complexité de cet algorithme? Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001U/ 001U /cours-polytech-peip2-algo/001U/ Tableaux Les tableaux sont un type de données composé permettant de représenter des ensembles ordonnées d'éléments, tous de même type. D'un point de vue des données représentées, ils ressemblent aux listes (TODO), mais ils diffèrent par le coût des différentes opérations que l'on peut faire dessus. La remarque suivante TODO donne une comparaison détaillée entre les tableaux et les listes. Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0023/ 0023 /cours-polytech-peip2-algo/0023/ Les opérations de base sur les tableaux Les tableaux sont des structures de données avec une taille statique, c'est-à-dire que lorsque l'on initialise un tableau, on doit à l'avance déclarer la taille que ce tableau aura, et celle ci ne changera jamais. Les tableaux permettent, en une seule opération d'accéder et de modifier une valeur placée en position pour tout entier inférieur à la taille du tableau. Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0024/ 0024 /cours-polytech-peip2-algo/0024/ A partir de où commence-t-on à compter Remarque En informatique, il est courrant de commencer à partir de , et donc, étant donné un tableau , on dira que le nombre est en position , le nombre en position , et le nombre en position . Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0022/ 0022 /cours-polytech-peip2-algo/0022/ Syntaxe pour manipuler les tableaux On utilisera la syntaxe de pour manipuler les tableaux Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0025/ 0025 /cours-polytech-peip2-algo/0025/ Déclaration et initialisation Pour initialiser un tableau, par exemple un tableau d'élements de type int de taille s'appelant monTableau, on utilisera la syntaxe suivante Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Bien sur, on peut adapter cet exemple, en changeant le type int en un autre primitif, et en changeant la taille et le nom du tableau. On peut également initialiser un tableau en même temps qu'on le déclare. Par exemple, le code suivant déclare le tableau monTableau, et initialise sa valeur à Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0026/ 0026 /cours-polytech-peip2-algo/0026/ Accès à une position et affectation Une fois un tableau déclaré, on peut accéder aux valeur stockées dans ce tableau. Par exemple, si l'on a déclaré un tableau s'appelant monTableau de taille , on pourra accéder à la position de ce tableau en écrivant Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); On pourra aussi modifier la valeur de la position de ce tableau, pour par exemple lui affecter la valeur 1729 en écrivant Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0027/ 0027 /cours-polytech-peip2-algo/0027/ Manipulations de tableaux Exercice Ecrire un programme qui initialise un tableau s'appelant monTableau de taille , contenant initialement les valeurs A l'aide d'une boucle, écrire une fonction incrementeTout qui prend en entrée un entier et tableau d'entier de taille , et qui renvoie une copie du tableau dans laquelle toutes les valeurs ont été incrémente de . On appelle la fonction incrementeTout(5,monTableau), quel est le tableau renvoyé en résultat? Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001W/ 001W /cours-polytech-peip2-algo/001W/ Accès hors des bornes du tableau Remarque Si l'on a déclaré un tableau monTableau de taille , l'on pourra accéder et affecter sans problème toutes les positions de à dans ce tableau. En revanche, on considerera qu'essayer d'accéder ou d'affecter toute position supérieure ou égale à est une erreur (même si parfois le programme ne détecte pas cette erreur). Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001X/ 001X /cours-polytech-peip2-algo/001X/ Valeur non initialisée Remarque On considérera qu'essayer d'accéder à une valeur avant qu'elle ait été initialisée est une erreur, même si en c'est accepté et cela renvoie une valeur par défaut associé au type de donnée du tableau. Par exemple, on considérera le code suivant comme incorrect pour ce cours, même s'il s'agit d'un code valide Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0028/ 0028 /cours-polytech-peip2-algo/0028/ Matrices et tableaux multidimensionels On peut représenter des matrices, c'est à dire des tableaux à double-entrée, comme des tableaux de tableaux. Pour déclarer et initialiser la matrice on pourra écrire Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Pour ensuite accéder à l'élément dans la ligne et la colone , on écrira Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Et pareillement pour l'affectaction. On peut aussi généraliser ce principe aux tableaux à dimensions, que l'on peut voir comme des tableaux de tableaux de tableaux... La syntaxe est similaire à celle des matrices, avec plus de crochets. Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0029/ 0029 /cours-polytech-peip2-algo/0029/ Algorithmes classiques sur les tableaux L'objectif de cette section est de se familiariser avec les tableaux, grâce à plusieurs algorithmes classiques sur ces derniers. Beaucoup de ces algorithmes sont donnés en exercices. Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0030/ 0030 /cours-polytech-peip2-algo/0030/ Trouver le maximum dans un tableau d'entiers Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); // Entrée : Un entier n > 0 et un tableau d'entier tableau de taille n // Sortie : Un entier représentant le maximum contenu dans tableau int maximum (int n, int tableau[]){ int max = tableau [0]; // A la fin de la boucle i, max contient le maximum // de tableau situé entre les indices 0 et i for (int i = 1; i < n; i++ ){ if (max < tableau[i]){ max = tableau[i]; } } return max; } Complexité: Pour analyser la complexité de cet algorithme, on compte le nombre de comparaison. A chaque passage dans la boucle, on effectue exactement une comparaison (max < tableau[i]), et on fait passages dans la boucle. Cette fonction fera donc toujours exactement comparaisons, ce qui donne une complexité en (complexité linéaire). Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0031/ 0031 /cours-polytech-peip2-algo/0031/ Minimum d'un tableau Exercice Ecrire une fonction minimum qui prend en argument un entier et un tableau de taille , et qui renvoie le minimum de ce tableau Ecrire une fonction minimumParmi qui prend en argument deux entiers et tels que , et un tableau de taille au moins , et qui renvoie le minimum parmis tous les éléments de ce tableau situé entre les positions et . Ecrire une fonction indiceMinimum qui prend en argument deux entiers et tels que , et un tableau de taille au moins , et qui renvoie la position à laquelle se situe minimum parmis tous les éléments de ce tableau situé entre les positions et . Donner une estimation de la complexité de chacune de ces fonctions. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0032/ 0032 /cours-polytech-peip2-algo/0032/ Crible d'Erathostene TODO Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003E/ 003E /cours-polytech-peip2-algo/003E/ Vérifier si un tableau est trié TODO Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003F/ 003F /cours-polytech-peip2-algo/003F/ Représentation en mémoire des tableaux Les tableaux que l'on utilise en sont statiques. C'est à dire que lors de l'initialisation, on déclare la taille du tableau, et le tableau ne changera jamais de taille. Cela permet au système d'exploitation, lors de la création d'un tableau, de réserver à l'avance une zone de la bonne taille dans la mémoire, qui servira à représenter notre tableau. Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004N/ 004N /cours-polytech-peip2-algo/004N/ Représentation mémoire d'un tableau de taille 5 Exemple On peut représenter graphiquement la représentation en mémoire d'un tableau a de taille comme ceci: Pour savoir comment accéder au tableau, le programme crée une variable séparée qui sert à stocker l'addresse de la mémoire où le tableau a été créé. Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004O/ 004O /cours-polytech-peip2-algo/004O/ Représentation mémoire d'un tableau de taille 5 Exemple On peut améliorer la représentation graphique du tableau a de taille en ajoutant le pointeur, comme ceci: , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Au moment de la déclaration, le système réserve une zone de la bonne taille, constitué de cases contigues en mémoire. Cela permet de rapidement accéder à n'importe laquelle des cases du tableau. En effet, connaissant la valeur de a, pointant vers l'adresse mémoire correspondant au début du tableau, accéder à une autre position dans le tableau se fait grâce à un simple décalage, une opération arithmétique. Cela justifie que les tableaux ont un accès en temps constant. Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003X/ 003X /cours-polytech-peip2-algo/003X/ Passage par valeur des tableaux Lorsque l'on passe un tableau en argument d'une fonction, le tableau est passé par valeur. Cela signifie que la fonction crée une variable locale dans le tableau et copie la valeur du tableau dans sa variable locale. Afin d'éviter de recopier toutes les cases du tableau pour appeler la fonction (ce qui induirait un coût linéaire), part du principe que la "valeur" d'un tableau est la case mémoire contenant l'adresse de la position à laquelle le tableau est stocké. Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003V/ 003V /cours-polytech-peip2-algo/003V/ Modification en place des tableaux Exemple Une conséquence de la représentation en mémoire des tableaux est que si une fonction effectue une modification sur un tableau via un accès à la zone mémoire contenant les données, cette modification sera visible à l'extérieure de la fonction également. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004P/ 004P /cours-polytech-peip2-algo/004P/ Modification en place d'un tableau Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004Q/ 004Q /cours-polytech-peip2-algo/004Q/ Modification en place d'un tableau Illustration On peut illustrer graphiquement l'algorithme précédent grâce à une série de schémas représentant la mémoire à différents moments de l'exécution du programme. Dans la fonction main, avant appel à la fonction echangerPremiers, on a créé le tableau suivant en mémoire: , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Au moment de l'appel à la fonction echangerPremiers, une copie de la variable a est crée, que l'on note ici x, c'est la variable locale à la fonction echangerPremiers qui représente la valeur de son argument , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \draw[thick] (\base+\n*\cellw+3*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \node (x) at (\base+\n*\cellw+3*\cellw+0.8,\y+0.45) {\texttt{x}}; \fill[gray!20] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\y); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\cellh) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\cellh); \node[align=center] at (\base+\n*\cellw+3.5*\cellw,\y+0.45) {}; \draw[->, thick] (x) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> La fonction echangerPremiers performe l'échange des deux premiers éléments dans la zone mémoire pointée par x , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \draw[thick] (\base+\n*\cellw+3*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \node (x) at (\base+\n*\cellw+3*\cellw+0.8,\y+0.45) {\texttt{x}}; \fill[gray!20] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\y); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\cellh) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\cellh); \node[align=center] at (\base+\n*\cellw+3.5*\cellw,\y+0.45) {}; \draw[->, thick] (x) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Après appel à la fonction echangerPremiers, la variable x est effacée. Remarquez que la variable a pointe toujours vers la même zone mémoire, dans laquelle les valeurs 0 et 1 ont été échangées: , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003G/ 003G /cours-polytech-peip2-algo/003G/ Algorithmes de tri itératifs Etant donné un tableau contenant des nombres entiers, on souhaite trier ce tableau, c'est à dire changer la position des éléments dans le tableau, de manière à ce que ces derniers soient rangés par ordre croissant. Les algorithmes de tris sont de très bons exemples pour travailler sur la complexité des algorithmes, car il en existe de nombreux différents, qui ont tous des spécificités propres. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0033/ 0033 /cours-polytech-peip2-algo/0033/ Tri par sélection Exercice L'objectif de cet exercice est d'implémenter le tri par sélection Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0034/ 0034 /cours-polytech-peip2-algo/0034/ Le principe du tri par sélection Le tri par sélection est certainement l'algorithme de tri le plus intuitif. On trie le tableau en d'abord le plus petit élément dans la première case, puis le deuxième plus petit dans la deuxième case, puis le troisième plus petit dans la troisième case etc. Concrètement, à l'étape , on aura déjà rangé par ordre croissant tous les plus petits éléments du tableau dans les premières cases du tableau. On va alors parcourir toutes les cases restantes dans le tableau, pour trouver l'indice du minimum des cases restante, et échanger la valeur de la case courante avec la valeur de la case contenant le minimum. A la fin de l'étape , on aura ainsi placé le plus petit élément dans la case . Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0035/ 0035 /cours-polytech-peip2-algo/0035/ Illustrations du tri par sélection Les animations suivantes peuvent aider à comprendre le tri par sélection. La première est tirée de la page wikipedia, la seconde a été réalisée à l'aide du logiciel sound of sorting TODO Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0031/ 0031 /cours-polytech-peip2-algo/0031/ Minimum d'un tableau Exercice Ecrire une fonction minimum qui prend en argument un entier et un tableau de taille , et qui renvoie le minimum de ce tableau Ecrire une fonction minimumParmi qui prend en argument deux entiers et tels que , et un tableau de taille au moins , et qui renvoie le minimum parmis tous les éléments de ce tableau situé entre les positions et . Ecrire une fonction indiceMinimum qui prend en argument deux entiers et tels que , et un tableau de taille au moins , et qui renvoie la position à laquelle se situe minimum parmis tous les éléments de ce tableau situé entre les positions et . Donner une estimation de la complexité de chacune de ces fonctions. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0037/ 0037 /cours-polytech-peip2-algo/0037/ Echange de deux cases dans un tableau Exercice Ecrire une fonction qui prend en argument un tableau d'entiers, et deux entiers et tout deux strictement inférieurs à la taille du tableau, et qui échange le contenu des positions et dans le tableau. Evaluer la complexité de cette fonction. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0038/ 0038 /cours-polytech-peip2-algo/0038/ Le tri par sélection Exercice Ecrire une fonction triselection prenant en entrée un entier et un tableau d'entier de taille , et effectuant le tri par sélection de ce tableau. Evaluer la complexité de cette fonction, en fonction de . En utilisant le générateur de tableau aléatoires, générer un tableau puis le trier et afficher les résultat pour vérifier qu'ils sont effectivement triés. En utilisant le générateur de tableau aléatoires, générer des tableaux de différentes tailles, et afficher le temps mis par la fonction de tri, en fonction de la taille du tableau en entrée sur une courbe. Comparer la courbe obtenue avec la complexité théorique attendue. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0039/ 0039 /cours-polytech-peip2-algo/0039/ Tri par insertion Exercice L'objectif de cet exercice est d'implémenter le tri par insertion Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003A/ 003A /cours-polytech-peip2-algo/003A/ Le principe du tri par insertion Le tri par insertion consistant à trier d'abord les deux premières cases du tableau, puis à trier les 3 premières cases en insérant la 3e à la bonne place, puis la 4e en l'insérant à la bonne place, etc. Concrètement avant l'étape , on aura trié les premières cases du tableau. On va alors regarder la case en position et comparer son contenu avec toutes les cases des positions , jusqu'à trouver la position à laquelle cette case doit être insérée, pour que le tableau soit trié. Finalement, on va insérer une la valeur de la case en position , et pour se faire, il faudra aussi décaler toutes les valeurs dans les positions de vers la droite. Cela termine l'étape , à l'issue de laquelle on aura effectivement trié les premières cases du tableau. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003B/ 003B /cours-polytech-peip2-algo/003B/ Illustrations du tri par insertion Les animations suivantes peuvent aider à comprendre le tri par sélection. La première est tirée de la page wikipedia, la seconde a été réalisée à l'aide du logiciel sound of sorting TODO Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003C/ 003C /cours-polytech-peip2-algo/003C/ Insertion dans un tableau trié Exercice Ecrire une fonction inserer qui prend en entrée un entier , un tableau de taille dont les premières entrées sont triées, et qui insère le contenu de la position à la bonne position, de manière à ce qu'neusite les prmières entrées du tableau soient triées Evaluer la complexité de cette fonction. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003D/ 003D /cours-polytech-peip2-algo/003D/ Le tri par insertion Exercice Ecrire une fonction triInsertion qui prend en entrée un entier et un tableau de taille , et qui effectue le tri par insertion sur ce tableau. Evaluer la complexité de cet algorithme en fonction de . En utilisant le générateur de tableau aléatoires, générer un tableau puis le trier et afficher les résultat pour vérifier qu'ils sont effectivement triés. En utilisant le générateur de tableau aléatoires, générer des tableaux de différentes tailles, et afficher le temps mis par la fonction de tri, en fonction de la taille du tableau en entrée sur une courbe. Comparer la courbe obtenue avec la complexité théorique attendue. Thibaut Benjamin 2025 11 12 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0040/ 0040 /cours-polytech-peip2-algo/0040/ Le tri a bulles Exercice L'objectif de cet exercice est d'implémenter le tri à bulles Thibaut Benjamin 2025 11 12 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0041/ 0041 /cours-polytech-peip2-algo/0041/ Le principe du tri à bulles Le tri à bulles consiste à parcourir le tableau en faisant "remonter" les valeur les plus grandes du tableau au fur et à mesure. A chaque étape du parcours, on compare la case courante à la case suivante, et si la case courante est plus grande que la case suivante, on échange les deux, puis on passe à la case suivante et on recommence l'opération. On peut se convaincre qu'après un parcours complet du tableau, la plus grande valeur se trouvera toujours en dernière position. On effectue ensuite autant de parcours que nécessaire pour que le tableau soit trié. Thibaut Benjamin 2025 11 12 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0042/ 0042 /cours-polytech-peip2-algo/0042/ Illustrations du tri par sélection Les animations suivantes peuvent aider à comprendre le tri par sélection. La première est tirée de la page wikipedia, la seconde a été réalisée à l'aide du logiciel sound of sorting TODO Thibaut Benjamin 2025 11 12 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0043/ 0043 /cours-polytech-peip2-algo/0043/ Le tri à bulles Exercice Ecrire une fonction triBulles1 qui prend en entrée un entier et un tableau de taille , et qui effectue le tri à bulles, en parcourant le tableau entier fois. Améliorer l'algorithme précédent, et écrire une fonction triBulles2: Après la itération, les plus grands éléments de ce tableau sont à la bonne position, on peut donc arrêter le parcours à la position Ecrire une dernière amélioration triBulles3 qui s'arrête dès que l'on fait un parcours qui ne fait aucun échange, même si l'on n'a pas fait itérations. Evaluer la complexité de ces 3 algorithmes en fonction de . En utilisant le générateur de tableau aléatoires, générer un tableau puis le trier avec chacunes des 3 fonctions et et afficher les résultat pour vérifier qu'ils sont effectivement triés. En utilisant le générateur de tableau aléatoires, générer des tableaux de différentes tailles, et afficher le temps mis par les fonctions triBulles1, triBulles2 et triBulles3 en fonction de la taille des tableaux en entrée sur une courbe. Comparer les courbes obtenues entre elles, et avec la complexité théorique attendue. Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004R/ 004R /cours-polytech-peip2-algo/004R/ La récursivité Ce chapitre est consacré à la récursivité. La récursivité est un concept important de l'informatique, qui aide à mettre au point des algorithmes et à programmer. La récursivité permet souvent de rendre les algorithmes plus clairs et concis, mais elle aide aussi souvent à écrire des algorithmes plus efficaces, avec une complexité moins élevée. L'analyse de complexité des fonctions récursives fait intervenir des suites satisfaisant des relations de récurrence. Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000V/ 000V /cours-polytech-peip2-algo/000V/ Notions de référence Ce chapitre constitue une référence sur les notions importantes que nous allons étudier et utiliser tout au long du cours. Il n'a pas vocation à être lu de bout-en-bout, mais à servir de point d'ancrage auquel se référer tout au long de la lecture de ce cours. Il ne faudra donc pas hésiter à sauter à ce chapitre au cours de la lecture autant que nécessaire. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000C/ 000C /cours-polytech-peip2-algo/000C/ Écrire des algorithmes Pour écrire des algorithmes, on utilisera un langage de programmation. De nombreux cours d'algorithmique s'appuyent sur du pseudo-code: un language fictif, dont l'objectif est d'être suffisamment générique et vague pour ne pas dépendre de manière trop spécifique d'un choix de language de programmation. Pour ce cours j'ai fait le choix d'utiliser le language . Une raison pour ce choix est la continuité pédagogique: les cours précédents à Polytech Paris-Saclay étaient déjà en . Une autre raison est que le pseudo-code est un language très peu spécifié, avec une syntaxe floue. Cela peut rapidement ammener à des confusions, et rajoute de la friction à l'apprentissage. Cependant le choix de n'est pas un choix central pour l'enseignement Pour les besoin du cours, on se limitera à un très petit sous ensemble du langage On ne mettra pas fortement l'accent sur la justesse exacte de la syntaxe Le reste de cette section présente les caractéristiques du sous-ensemble de que nous utiliserons Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000D/ 000D /cours-polytech-peip2-algo/000D/ Les types de données Selon le proverbe, il ne faut pas mélanger les torchons et les serviettes. Ce sont là des types de données. Ils servent à se rappeler de quelle nature est l'objet qu'une variable doit représenter, afin d'éviter de faire des opérations n'ayant pas de sens, comme additionner une chaîne de caractères avec un nombre. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000E/ 000E /cours-polytech-peip2-algo/000E/ Les types de données de base Les types de données de base de que nous allons utiliser sont les booléens bool (qui ne peuvent prendre que 2 valeurs, true et false), les entiers int, et les caractères char (comme par exemple 'a', '*', '5'...). Pour les besoins de ce cours, nous allons ignorer les limitations liées aux dépassement arithémtiques, et, sauf mention explicite du contraire, nous considérerons que les valeurs de type int peuvent être n'importe quel nombre entier. Nous ignorerons également que les caractères sont aussi des entiers, et considéreront donc par exemple qu'additionner deux caractères n'a pas de sens. Il existe en réalité beaucoup de types de données de base en , en particulier les nombres flottants, permettant de représenter des nombres décimaux, mais ils ne nous seront pas utiles dans ce cours. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000F/ 000F /cours-polytech-peip2-algo/000F/ Les types de données composés Aux types de données de base s'ajoutent d'autres types de données composés, que l'on construit à partir de ces types primitifs Les tableaux Les listes TODO Les arbres TODO Les chaînes de caractères TODO Notons l'absence de pointeurs: On y fera quelques mentions, mais ce n'est pas le point central de ce cours. Les types de données composés présentés ci-dessus sont secrètement des pointeurs: une valeur de ce type est une adresse mémoire contenant les données prescrites. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000G/ 000G /cours-polytech-peip2-algo/000G/ Variables et affectations Les variables permettent de stocker des valeur que l'on a besoin de manipuler lors de l'exécution de l'aglorithme. Elles sont déclarées en étant précédées de leur type de donnée comme dans l'exemple suivant Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Pour affecter une valeur à une variable on utilisera le symbole =. Ainsi, l'extrait de code suivant déclare une variable x de type int et lui affecte la valeur 5 Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); On pourra abréger ce code en 1 seule ligne, en echaînant la déclaration et l'affectation, comme suit Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); On considérera qu'essayer d'accéder à une valeur qui a été déclarée mais à laquelle aucune valeur n'a été affectée est une erreur, même si ne lève pas d'erreur et renvoie une valeur. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001Y/ 001Y /cours-polytech-peip2-algo/001Y/ Conventions de nommage Remarque Il est important de donner des noms raionnables aux variables, de manière à indiquer ce qu'elles sont censées représenter. Cela rend l'algorithme bien plus compréhensible. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000H/ 000H /cours-polytech-peip2-algo/000H/ Fonctions, méthodes, procédures On pourra définir des algorithmes auxilliaires permettant de nous aider à résoudre un problème concret. L'on écrira ces algorithmes sous forme de fonctions (que l'on appellera aussi sans distinction méthodes ou procédures). On commencera toujours la définition d'une fonction en indiquant son type de retour, son nom, ainsi que ses arguments avec leur type. Si une fonction ne renvoie pas d'argument, on remplacera le type de retour par le mot-clé void. Pour indiquer la valeur qu'une fonction renvoie, on utilisera le mot clé return. Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003I/ 003I /cours-polytech-peip2-algo/003I/ Une fonction Exemple Le code suivant définit une fonction majuscule prenant une caractère et retournant un caractère Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003H/ 003H /cours-polytech-peip2-algo/003H/ Passage par valeur et passage par référence Par défaut, les appels de fonction en se font en passage par valeur, mais il est également possible de les déclarer en passage par référence. La valeur des type de donné composé auxquels on s'intéresse est son adresse. Donc passer un argument d'un type composé à une fonction ressemble à un passage par référence. Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000I/ 000I /cours-polytech-peip2-algo/000I/ Valeurs de base et comparaison Les valeurs de base sont les valeurs d'un type de base. Les trois principaux moyens d'obtenir une valeur de base sont les suivant: Un litéral, qui peut être: true ou false de type bool un entier 1, 2, 3,... de type int un caractère 'A', '*', 'b',... de type char Une variable, dont le type a été déclaré Un appel de fonction Pour comparer des valeurs de base, l'on utilise l'opérateur ==, qui renvoie le booléen true si les deux valeurs sont égales, et false si les deux valeurs sont différentes. Ceci est illustré ci-dessous Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001Z/ 001Z /cours-polytech-peip2-algo/001Z/ Affectation et comparaison Remarque Attention à ne pas comfondre les opérateurs d'affectation = et de comparaison ==! Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0020/ 0020 /cours-polytech-peip2-algo/0020/ Comparaison sur les entiers Pour les nombres, on utilisera également les opérateurs de comparaison habituels < ("strictement inférieur à"), <= ("inférieur ou égal à"), >= ("supérieur ou égal à") et > ("strictement supérieur à"). Dans ce cours, on réservera ces opérateurs au type int, et on considérera qu'ils n'ont pas de sens sur les types char et bool, même si c'est accepté en . Thibaut Benjamin 2025 10 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000J/ 000J /cours-polytech-peip2-algo/000J/ Branchements conditionnels Les branchements conditionnels sont une structure de contrôle permettant d'exécuter des parties de code seulement sous certaines conditions. Nous utiliserons deux sortes de conditionnelles Les conditions if-then-else Les conditions switch Thibaut Benjamin 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000K/ 000K /cours-polytech-peip2-algo/000K/ Les branchements conditionnels if-then-else Les branchements conditionnels if-then-else (en français: si, alors et sinon) permettent comme leur nom l'indique de tester une valeur booléenne (appelée condition), et de basculer sur une branche ou l'autre du code suivant que la condition est vraie ou fausse. La syntaxe pour utiliser ce genre de branchement conditionnel est la suivante: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Ici, condition est une valeur booléenne. Si cette valeur est true, alors le code présent dans la branche 1 est exécuté, et sinon, le code présent dans la branche 2 est exécuté. Notons que l'on peut également ommettre la seconde branche, et écrire simplement: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Dans ce cas, si la valeur condition est true, alors le code présent dans la branche 1 est exécuté, et sinon, l'on continue à exécuter le programme sans passer par une seconde branche. Thibaut Benjamin 2025 11 1 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0021/ 0021 /cours-polytech-peip2-algo/0021/ Branchements conditionnels imbriqués Dans le cas où l'on veut imbriquer des branchements conditionnels, on pourra utiliser l'opérateur else if: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000L/ 000L /cours-polytech-peip2-algo/000L/ Conditions booléennes Remarque Notons que si x est une variable booléenne, il est fréquent de voir des élèves écrire la condition suivante: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); La condition x == true est une valeur booléenne qui vaut true lorsque x vaut true, et qui vaut false lorsque x vaut false. Autrement dit, la valeur booléenne x == true est égale à la valeur booléenne x. Pour cette raison on privilégiera plutôt le code équivalent: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000M/ 000M /cours-polytech-peip2-algo/000M/ Les branchements conditionnels switch-case Lorsque l'on veut faire un branchement avec plus que deux branches, on pourra utiliser un branchement switch-case, qui évite d'enchaîner pleins de branchements if-then-else. Par exemple, si x est une variable de type int, on pourra écrire: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); plutôt que: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); On donne ici un exemple avec 4 branches, mais l'on peut utiliser un branchement switch-case avec un nombre de branches arbitraire Thibaut Benjamin 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000N/ 000N /cours-polytech-peip2-algo/000N/ Boucles Les boucles sont une structure de contrôle permettant de répéter d'autres instructions un certain nombre de fois, ou jusqu'à ce qu'une condition booléenne devienne valide. Nous utiliserons deux types de boucles Les boucles for Les boucles while Thibaut Benjamin 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000P/ 000P /cours-polytech-peip2-algo/000P/ Boucles for Les boucles for permettent de répéter les intructions contenues dans le corps de la boucle un nombre certain nombre de fois. Pour ce faire, on définit une variable intermédiaire qui sert de compteur, et que l'on va incrémenter jusqu'à la valeur désirée. La syntaxe pour utiliser une boucle for est la suivante Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Dans cet exemple, les intructions contenues dans le corps de la boucles sont répétées 8 fois. Décomposons rapidement les différents éléments de la boucle: le code int i = 1 déclare une variable i de type int et lui affecte la valeur 1 le code i <= 8 indique que l'on va passer dans la boucle tant que la condition i <= 8 est vraie le code i++ donne une instruction à effectuer à la fin de chacun des passages dans la boucle, ici on incrémente la variable i de 1 (le code i++ est équivalent à i = i+1) Notons que dans le corps de la boucle, l'on a accès à la variable i, et l'on voit sa valeur changer au fil des passages dans la boucle. C'est pourquoi on sera ammené parfois à commencer à compter à partir d'un nombre différent de 1, ou par exemple de 3 en 3. Par exemple, la boucle suivante fait le même nombre d'itérations que la boucle précédente, mais donne des valeurs de la variable i différentes dans le corps de la boucle pour chacun des passages: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 10 8 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000Q/ 000Q /cours-polytech-peip2-algo/000Q/ Boucles while Les boucles while permettent de répéter les instructions contenues dans le corps de la boucle tant qu'une condition booléenne est vraie. On l'utilise avec la syntaxe suivante: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Notons qu'il n'y a pas de garantie que la boucle s'arrête. Pour que la boucle s'arrête, il faut que le corps de la boucle modifie la condition de manière à la rendre fausse à un moment. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003N/ 003N /cours-polytech-peip2-algo/003N/ Passage par valeur et passage par référence Il existe plusieurs manière de transmettre des arguments à une fonction, et elles ne sont pas équivalentes. Il est donc important de toujours comprendre dans quel cas on se place. En , le défaut est que tous les arguments sont passés par valeur, mais il est aussi possible de déclarer un passage par référence. Il existe également une troisième option couramment utilisée en , consistant à passer par valeur un pointeur. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003Q/ 003Q /cours-polytech-peip2-algo/003Q/ Passage par valeur et par référence Exemple Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003O/ 003O /cours-polytech-peip2-algo/003O/ Passage par valeur Le passage par valeur est le comportement par défaut de . Au point d'appel d'une fonction, le programme crée une copie locale des valeurs qu'on lui a donnée, et travaille dans la fonction à l'aide de ces copies. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003R/ 003R /cours-polytech-peip2-algo/003R/ Passage par valeur Example Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Illustration: TODO Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003P/ 003P /cours-polytech-peip2-algo/003P/ Passage par référence Il est possible en d'indiquer que certains arguments doivent être passés par référence, en ajoutant un & devant le nom de la variable lors de la déclaration de la fonction. Lors d'un passage par référence, la variable est transmise au corps de la fonction au moyen de son adresse mémoire. Cela évite de faire une copie des arguments Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003S/ 003S /cours-polytech-peip2-algo/003S/ Passage par référence Exemple Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003T/ 003T /cours-polytech-peip2-algo/003T/ Passage par valeur de pointeur et modification en place On peut obtenir un comportement similaire à un appel par référence, en faisant un appel par valeur sur une valeur se trouvant être un pointeur. Dans ce cas, la valeur de la variable se trouve elle-même être une adresse mémoire. Bien que l'on ne va pas utiliser les pointeurs directement dans ce cours, les tableaux en sont un exemple: la valeur d'une variable de type tableau est en fait l'adresse mémoire de la première case. Dans ce cas de figure, une fonction peut modifier la structure de donnée qui lui est passée en argument, de manière visible à l'extérieur de la fonction. Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003V/ 003V /cours-polytech-peip2-algo/003V/ Modification en place des tableaux Exemple Une conséquence de la représentation en mémoire des tableaux est que si une fonction effectue une modification sur un tableau via un accès à la zone mémoire contenant les données, cette modification sera visible à l'extérieure de la fonction également. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004P/ 004P /cours-polytech-peip2-algo/004P/ Modification en place d'un tableau Algorithme Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Thibaut Benjamin 2025 11 20 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004Q/ 004Q /cours-polytech-peip2-algo/004Q/ Modification en place d'un tableau Illustration On peut illustrer graphiquement l'algorithme précédent grâce à une série de schémas représentant la mémoire à différents moments de l'exécution du programme. Dans la fonction main, avant appel à la fonction echangerPremiers, on a créé le tableau suivant en mémoire: , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Au moment de l'appel à la fonction echangerPremiers, une copie de la variable a est crée, que l'on note ici x, c'est la variable locale à la fonction echangerPremiers qui représente la valeur de son argument , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \draw[thick] (\base+\n*\cellw+3*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \node (x) at (\base+\n*\cellw+3*\cellw+0.8,\y+0.45) {\texttt{x}}; \fill[gray!20] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\y); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\cellh) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\cellh); \node[align=center] at (\base+\n*\cellw+3.5*\cellw,\y+0.45) {}; \draw[->, thick] (x) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> La fonction echangerPremiers performe l'échange des deux premiers éléments dans la zone mémoire pointée par x , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \draw[thick] (\base+\n*\cellw+3*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \node (x) at (\base+\n*\cellw+3*\cellw+0.8,\y+0.45) {\texttt{x}}; \fill[gray!20] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) rectangle ++(\cellw,\cellh); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\y) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\y); \draw[thick,-] (\base+\n*\cellw+4*\cellw,\cellh) -- (\base+\n*\cellw+5*\cellw,\cellh); \node[align=center] at (\base+\n*\cellw+3.5*\cellw,\y+0.45) {}; \draw[->, thick] (x) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Après appel à la fonction echangerPremiers, la variable x est effacée. Remarquez que la variable a pointe toujours vers la même zone mémoire, dans laquelle les valeurs 0 et 1 ont été échangées: , thick] (a) to[out=-90, in=-90, looseness=0.35] (\base,\y); \end{tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003W/ 003W /cours-polytech-peip2-algo/003W/ Passage par valeur d'un pointeur et passage par référence Attention Attention à ne pas confondre passage par valeur d'un pointeur et passage par référence! Il est possible de simuler un passage par référence à l'aide d'un passage par valeur de pointeur, mais ce sont deux concepts différents. Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000U/ 000U /cours-polytech-peip2-algo/000U/ Un peu de mathématiques: Les ordres de grandeurs On utilise les ordres de grandeur pour mesurer la complexité asymptotique Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000W/ 000W /cours-polytech-peip2-algo/000W/ Résumé rapide .katex { white-space: nowrap } th { white-space: nowrap } td { padding-top: 10px; padding-bottom: 10px } Les notations que l'on utilise pour évaluer les ordres de grandeurs sont les suivantes: On considère une fonction : Notation Signification formelle Signification informelle Il existe 0]]> et tel que pour tout , croît en gros comme ou moins vite Il existe 0]]> et tel que pour tout , croît en gros comme ou plus vite et croît en gros comme Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000X/ 000X /cours-polytech-peip2-algo/000X/ Grand O La notation la plus commune pour mesurer les ordres de grandeur est la notation ("grand O"). Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000Y/ 000Y /cours-polytech-peip2-algo/000Y/ Grand O Définition Etant donné deux fonctions , on écrit si il existe une constante réelle 0]]> et un rang tels que pour tout , l'on aie Conrètement, signifie que asymptotiquement (c'est à dire lorsque devient très grand), la fonction reste toujours au dessous de la fonction , à une constante multiplicative près. L'idée d'autoriser une constante multiplicative, est que cela ne change pas la forme de la courbe. Par exemple, si la courbe de une droite, alors celle de l'est aussi. Si la courbe de est une parabole, alors la courbe de l'est aussi, etc. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000Z/ 000Z /cours-polytech-peip2-algo/000Z/ Grand O Propriétés La notation satisfait les propriétés suivantes Réflexivité: Toute fonction satisfait Transitivité: Si et alors Multiplication par une constante: Si et 0]]> alors Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0010/ 0010 /cours-polytech-peip2-algo/0010/ Grand Omega La notation (grand omega) est en quelque sorte l'inverse de la notation grand O Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0011/ 0011 /cours-polytech-peip2-algo/0011/ Grand Omega Définition Etant donné deux fonctions , on écrit si il existe une constante réelle 0]]> et un rang tels que pour tout , l'on aie Conrètement, signifie que asymptotiquement (c'est à dire lorsque devient très grand), la fonction reste toujours au dessus de la fonction , à une constante multiplicative près. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0012/ 0012 /cours-polytech-peip2-algo/0012/ Grand Omega Propriétés La notation satisfait les propriétés suivantes Lien avec : On a si et seulement si Réflexivité: Toute fonction satisfait Transitivité: Si et alors Multiplication par une constante: Si et 0]]> alors Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0013/ 0013 /cours-polytech-peip2-algo/0013/ Grand Theta La notation (grand theta) est une synthèse des notations grand O et grand omega Thibaut Benjamin 2025 10 27 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0014/ 0014 /cours-polytech-peip2-algo/0014/ Grand Theta Définition Etant donné deux fonctions , on écrit si il existe deux constantes réelles 0]]>, et 0]]> et un rang tels que pour tout , l'on aie Conrètement, signifie que asymptotiquement (c'est à dire lorsque devient très grand), la fonction est comprise entre deux copies de multipliées par des constantes différentes. Cela signifie donc que la courbe de est de même "nature" que celle de . Par exemple, si la courbe de est une droite, alors celle de l'est également, si la courbe de est une parabole, alors celle de l'est également, etc. Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0015/ 0015 /cours-polytech-peip2-algo/0015/ Grand Theta Propriétés La notation satisfait les propriétés suivantes Lien avec et : On a si et seulement si et Réflexivité: Toute fonction satisfait Transitivité: Si et alors Multiplication par une constante: Si et 0]]> alors Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001B/ 001B /cours-polytech-peip2-algo/001B/ Exercices sur les ordres de grandeur Les exercices suivants permettront de se familiariser avec les notations que l'on utilise pour les ordres de grandeurs. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001C/ 001C /cours-polytech-peip2-algo/001C/ Propriétés de la notation grand O Exercice Prouver les propriétés de la notation grand O rappelées ci-dessous Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/000Z/ 000Z /cours-polytech-peip2-algo/000Z/ Grand O Propriétés La notation satisfait les propriétés suivantes Réflexivité: Toute fonction satisfait Transitivité: Si et alors Multiplication par une constante: Si et 0]]> alors Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001D/ 001D /cours-polytech-peip2-algo/001D/ Propriétés de la notation grand Omega Exercice Prouver les propriétés de la notation grand Omega rappelées ci-dessous Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0012/ 0012 /cours-polytech-peip2-algo/0012/ Grand Omega Propriétés La notation satisfait les propriétés suivantes Lien avec : On a si et seulement si Réflexivité: Toute fonction satisfait Transitivité: Si et alors Multiplication par une constante: Si et 0]]> alors Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001E/ 001E /cours-polytech-peip2-algo/001E/ Propriétés de la notation grand Theta Exercice Prouver les propriétés de la notation grand Theta rappelées ci-dessous Thibaut Benjamin Violette Chateau 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0015/ 0015 /cours-polytech-peip2-algo/0015/ Grand Theta Propriétés La notation satisfait les propriétés suivantes Lien avec et : On a si et seulement si et Réflexivité: Toute fonction satisfait Transitivité: Si et alors Multiplication par une constante: Si et 0]]> alors Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001F/ 001F /cours-polytech-peip2-algo/001F/ Seul le plus gros terme compte Exercice On considère une fonction . Supposons que . Montrer que Supposons que . Montrer que Supposons que . Montrer que indication: On pourra utiliser le fait que On cherche maintenant à généraliser ce résultat: Supposons que avec . Montrer que Supposons que avec . Montrer que Supposons que avec . Montrer que Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0016/ 0016 /cours-polytech-peip2-algo/0016/ Les ordres de grandeurs usuels Certains ordres de grandeurs ont des noms qu'il est habituels d'utiliser. On présente ici les principaux, avec leur noms, leur définition et la courbe qui leur correspond. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001J/ 001J /cours-polytech-peip2-algo/001J/ Constant Ordre de grandeur Une fonction telle que est une dite (asymptotiquement) constante. Sa courbe est contenue entre deux droites horizontales ,ultra thick] (-5,0)--(5,0) node[right]{$x$}; \draw [->,ultra thick] (0,-5)--(0,5) node[above]{$y$}; \draw [-,thick] (-5,2) -- (5,2); \draw [-,thick] (-5,3) -- (5,3); \end {tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0017/ 0017 /cours-polytech-peip2-algo/0017/ Linéaire Ordre de grandeur Une fonction telle que est appelée une fonction linéaire. Sa courbe est une droite ,ultra thick] (-5,0)--(5,0) node[right]{$x$}; \draw [->,ultra thick] (0,-5)--(0,5) node[above]{$y$}; \draw [-,thick] (-5,-3) -- (2,5); \end {tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0018/ 0018 /cours-polytech-peip2-algo/0018/ Quadratique Ordre de grandeur Une fonction telle que est appelée une fonction quadratique. Sa courbe est une parabole ,ultra thick] (-5,0)--(5,0) node[right]{$x$}; \draw [->,ultra thick] (0,-5)--(0,5) node[above]{$y$}; \draw [smooth, samples=100, domain=-5:3, thick] plot(\x , {0.3 * (\x + 2)^2 - 1}); \end {tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/0019/ 0019 /cours-polytech-peip2-algo/0019/ Logarithmique Ordre de grandeur Une fonction telle que est appelée une fonction logarithmique. Sa courbe ressemble à celle d'un logarithme. ,ultra thick] (-5,0)--(5,0) node[right]{$x$}; \draw [->,ultra thick] (0,-5)--(0,5) node[above]{$y$}; \draw [smooth, samples=100, domain=-1.9:5, thick] plot(\x , {ln (\x + 2) + 1}); \end {tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001A/ 001A /cours-polytech-peip2-algo/001A/ Exponentielle Ordre de grandeur Une fonction telle que est appelée une fonction exponentielle. Sa courbe ressemble à celle d'une fonction exponentielle. ,ultra thick] (-5,0)--(5,0) node[right]{$x$}; \draw [->,ultra thick] (0,-5)--(0,5) node[above]{$y$}; \draw [smooth, samples=100, domain=-5:1.7, thick] plot(\x , {exp (\x )}); \end {tikzpicture} ]]> Thibaut Benjamin 2025 11 13 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/004G/ 004G /cours-polytech-peip2-algo/004G/ Vitesse de croîssance des fonctions usuelles Il est important d'avoir une bonne idée de la vitesse de croissance des différents ordre de grandeurs. La liste suivante les donne donc, en partant du plus lent au plus rapide: Constant: Les fonctions constantes ne croîssent pas du tout, difficile de faire plus lent. Logarithmique: La fonction logarithmique croît très lentement, sans pour autant tendre vers une valeur finie. Linéaire: Les fonctions linéaires peuvent commencer à poser problème. : C'est une complexité que l'on rencontre souvent, plus élevée que les fonctions linéaires. Quadratique: En général à partir de là, le programme pose problème. : Plus on augmente l'exposant, plus ca croît vite. Exponentielle : Plus rapide que toutes les fonctions puissance. Thibaut Benjamin 2025 10 27 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/001V/ 001V /cours-polytech-peip2-algo/001V/ Recueil des TD/TP Thibaut Benjamin 2025 11 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003Y/ 003Y /cours-polytech-peip2-algo/003Y/ Liste des TD TD 1 TD 2 TD 3 TD 4 Corrections: Merci à Olivier Delfanne pour la prise de notes des corrections des TD. C'est un travail personnel qu'il partage avec l'ensemble de la classe, et ne constituent en aucun cas des corrections officielles. Corrections du TD1 Corrections du TD2 Corrections du TD3 Corrections du TD4 Thibaut Benjamin 2025 11 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003Z/ 003Z /cours-polytech-peip2-algo/003Z/ Liste des TP TP 1 TP 2 TP 3 TP 4 Contributions