Thibaut Benjamin 2025 12 7 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/005T/ 005T /cours-polytech-peip2-algo/005T/ Cours d'informatique Option S3 Cette page est consacrée au matériel du cours d'option informatique qui fait suite au cours d'informatique du semestre 3. Ce cours constitue une petite introduction au sujet de la vérification de programmes. Cours 1: Présentation, et terminaison des boucles Cours 2: Contrats de fonctions et terminaison des fonctions récursives Cours 3: Invariants de boucles et preuves de programmes itératifs TP1: Preuves d'implémentations du tri par insertion correction TP2: Preuves d'implémentations du tri par sélection correction TP3 (Bonus): Preuves d'implémentations du tri fusion correction Sujet d'examen 🔒 Sujet d'examen annexe fichier Wh3 References Context Backlinks Thibaut Benjamin http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/index/ index /cours-polytech-peip2-algo/index/ Cours d'algorithmique et complexité Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003K/ 003K /cours-polytech-peip2-algo/003K/ Structure du cours Ce document est un cours d'algorithmique pour la deuxième année de prépa intégrée à l'école d'ingénieur Polytech Paris-Saclay. Il est conçu à l'aide de l'outil forester, et a une structure qui peut sembler atypique. Il est en effet constitué de nombreuses "notes atomiques" (c'est-à-dire des notes présentant chacune une seule idée), constituant l'ensemble des connaissances attendues. Le document que vous lisez regroupe toutes ces notes, qui servent à la fois de cours et de base de données de connaissances. Il est donc attendu que le lecteur puisse lire le cours en sautant d'une note à l'autre, en suivant les liens contenus dans ces dernières, lorsque cela semble pertinent ou nécessaire. Le dernier chapitre de ce document constitue une référence sur les notions importantes que nous allons étudier et utiliser tout au long du cours. Il n'a pas vocation à être lu de bout-en-bout, mais à servir de point d'ancrage auquel se référer tout au long de ce cours. Il ne faudra donc pas hésiter à sauter à ce chapitre au cours de la lecture autant que nécessaire. Thibaut Benjamin 2025 11 4 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/003L/ 003L /cours-polytech-peip2-algo/003L/ Contribuer Les contributions sont bienvenues, de la part de tout le monde! Le cours entier est en ligne sur github, et il suffit d'ouvrir une merge request pour proposer un changement. Si vous ne savez pas comment faire, vous pouvez contacter Thibaut Benjamin La page du cours La page des TD/TP La page des slides de cours Recueil d'examens passés La page du cours d'option S3 Related Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006R/ 006R /cours-polytech-peip2-algo/006R/ Preuves d'implémentations du tri par sélection TP L'objectif de ce TP est spécifier une implémentation du tri fusion, afin de montrer qu'elle renvoient toujours un tableau trié. L'implémentation que l'on considère ici n'est pas efficace d'un point de vue l'utilisation de la mémoire, mais cela permet de la rendre spécifiable simplement. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006S/ 006S /cours-polytech-peip2-algo/006S/ Utilisation de Why3 Rappel Nous utiliseront la version en ligne de Why3. N'oubliez pas de vous mettre en langage micro-c, de vérifier régulièrement que Why3 accepte ce que vous écrivez, et de sauvegarder régulièrement votre travail. Voici un petit récapitulatif de ce que l'on peut faire avec Why3: //@variant: Déclarer un variant pour une boucle ou une fonction récursive. //@requires: Déclarer une pré-condition pour une boucle. //@ensures: Déclarer une post-condition. //@predicate P (int tab[], int i) = ...: Définir un prédicat P prenant en paramètre un tableau tab et un entier i. //@function int f(int tab[], int i) = ...: Définir une fonction f prenant en paramètre un tableau tab et un entier i result: (Dans un contrat de fonction) accéder au résultat renvoyé par la fonction. length(tab): Retourner la longueur du tableau tab. forall i . Q (i): Quantification universelle exists i . Q (i) : Quantification existentielle old(e): (Dans une post-condition) Accéder à la valeur de l'expression e au moment de l'appel de la fonction. //@label : Déclarer un label. at(e,L) : Accéder à la valeur de l'expression e au point du programme indiqué par le label L. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006L/ 006L /cours-polytech-peip2-algo/006L/ Prédicats utiles Exercice On commence l'exercice en définissant des prédicats utiles à montrer que le tableau est trié Donner en Why3 la définition d'un prédicat trieJusque(int a[],int n) qui indique que les n premiers éléments du tableau a sont correctement triés. Donner en Why3 la définition d'un prédicat trie(int a[]) qui indique que le tableau a est entièrement trié, en utilisant le prédicat précédent. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006X/ 006X /cours-polytech-peip2-algo/006X/ Spécification de la fonction de fusion Exercice On considère la fonction suivante, qui prend en entrée un tableau tabGauche avec sa longueur lGauche, un tableau tabDroite avec sa longueur lDroite et un tableau resultat, et qui effectue la fusion des deux tableau tabGauche et tabDroite dans le tableau resultat. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Donner les préconditions de cette fonction, indiquant que les deux tableaux en entrée doivent être de la bonne longueur, qu'ils doivent être triés, et spécifiant la longueur du résultat. Donner la post-condition garantissant que le résultat est trié à la fin de la fonction. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006Y/ 006Y /cours-polytech-peip2-algo/006Y/ Spécification et preuve du tri fusion Exercice On considère la fonction suivante, qui effectue le tri fusion sur le tableau donné en entrée. Pour cela elle crée deux sous tableaux, qui sont des copies des deux moitiés du tableau donné en entrée. Puis elle appelle récursivement le tri fusion sur chacune des deux copies, et fusionne le résultat, en le stockant dans le tableau original. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Donner le contrat de cette fonction, constitué d'une précondition spécifiant la taille du tableau, d'une post-condition assurant que le tableau est trié, et d'un variant pour montrer que la fonction termine toujours. Donner les variants pour chacune des deux boucles. Donner les invariants pour chacune des deux boucles, permettant de s'assurer que tous les accès dans les tableaux sont valides. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006Z/ 006Z /cours-polytech-peip2-algo/006Z/ Preuve de la fonction de fusion Exercice On termine en prouvant le contrat que l'on a donné pour la fonction de fusion Donner un variant pour chacune des boucles, pour prouver qu'elles terminent. Donner pour chacune des boucles les invariants permettant de montrer que tous les accès aux tableaux sont corrects. Donner pour chacune des boucles un invariant permettant de relier la valeur de i avec celle de gauche et droite. Donner pour chacune des boucles un invariant spécifiant que le tableau resultat est trié jusqu'à un certain point. Donner pour chacune des boucles deux invariants permettant de comparer les valeurs déjà placées dans le résultat avec les valeurs restantes dans les deux tableaux. [Indice] Pensez à la manière dont s'exécute le programme, prenez un exemple et essayez de caractériser complètement l'état du programme au milieu de son exécution. Pour les deux dernières boucles, donner un invariant supplémentaires permettant de s'assurer que l'un des deux indice a atteint le bout du tableau qu'il parcourt. Vérifier que Why3 est capable de prouver toutes vos spécifications. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006Q/ 006Q /cours-polytech-peip2-algo/006Q/ Preuves d'implémentations du tri par sélection TP L'objectif de ce TP est spécifier différentes implémentations du tri par sélection, afin de montrer que ces fonctions renvoient toujours un tableau trié. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006S/ 006S /cours-polytech-peip2-algo/006S/ Utilisation de Why3 Rappel Nous utiliseront la version en ligne de Why3. N'oubliez pas de vous mettre en langage micro-c, de vérifier régulièrement que Why3 accepte ce que vous écrivez, et de sauvegarder régulièrement votre travail. Voici un petit récapitulatif de ce que l'on peut faire avec Why3: //@variant: Déclarer un variant pour une boucle ou une fonction récursive. //@requires: Déclarer une pré-condition pour une boucle. //@ensures: Déclarer une post-condition. //@predicate P (int tab[], int i) = ...: Définir un prédicat P prenant en paramètre un tableau tab et un entier i. //@function int f(int tab[], int i) = ...: Définir une fonction f prenant en paramètre un tableau tab et un entier i result: (Dans un contrat de fonction) accéder au résultat renvoyé par la fonction. length(tab): Retourner la longueur du tableau tab. forall i . Q (i): Quantification universelle exists i . Q (i) : Quantification existentielle old(e): (Dans une post-condition) Accéder à la valeur de l'expression e au moment de l'appel de la fonction. //@label : Déclarer un label. at(e,L) : Accéder à la valeur de l'expression e au point du programme indiqué par le label L. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006L/ 006L /cours-polytech-peip2-algo/006L/ Prédicats utiles Exercice On commence l'exercice en définissant des prédicats utiles à montrer que le tableau est trié Donner en Why3 la définition d'un prédicat trieJusque(int a[],int n) qui indique que les n premiers éléments du tableau a sont correctement triés. Donner en Why3 la définition d'un prédicat trie(int a[]) qui indique que le tableau a est entièrement trié, en utilisant le prédicat précédent. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006T/ 006T /cours-polytech-peip2-algo/006T/ Spécification de la fonction d'échange Exercice On commence par spécifier la fonction d'échange suivante: Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Donner les préconditions permettant de s'assurer que les deux positions que l'on cherche à échanger sont valides dans le tableau. Donner les post-conditions assurant que les valeurs correspondant aux indices du tableau ont bien été changées Donner une post-condition supplémentaire, garantissant que les autres valeurs du tableau n'ont pas changé Vérifier que Why3 peut prouver ces post-conditions sans indications supplémentaires Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006U/ 006U /cours-polytech-peip2-algo/006U/ Spécification de l'indice du minimum Exercice On se concentre ensuite sur la fonction suivante, permettant de trouver l'indice du minimum dans un tableau, à partir d'un indice k donné. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Donner les préconditions de cette fonction. Donner le variant de la boucle. Donner les invariants de la boucle permettant de garantir que tous les accès au tableau sont corrects. Donner la post-condition garantissant que le résultat de la fonction est une position valide du tableau supérieure ou égale à k. Donner la post-condition de cette fonction assurant que tous les éléments du tableau contenus à des position supérieures ou égales à k, sont supérieurs à l'élément contenu dans la position renvoyée par la fonction. Donner un invariant de la boucle permettant de prouver cette post-condition. Vérifier que Why3 réussit bien à vérifier tous les buts. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006V/ 006V /cours-polytech-peip2-algo/006V/ Spécification du tri par sélection itératif Exercice On s'intéresse maintenant à la version itérative du tri par sélection. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Donner les préconditions de cette fonction. Donner le variant de la boucle. Donner les invariants de la boucle permettant de garantir que toutes les préconditions des fonctions précédentes sont bien vérifiées. Donner la post-condition assurant qu'à la fin de cette fonction le tableau est trié. Donner les invariants permettant de vérifier cette post-condition [Indice] Il vous faudra deux invariants pour prouver cette condition, qui traduisent ce qui se passe lors du tri par sélection. Pour vous aider, vous pouvez reprendre la visualisation et mettre en pause pendant le tri. Vérifier que Why3 réussit bien à vérifier tous les buts. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006W/ 006W /cours-polytech-peip2-algo/006W/ Spécification du tri par sélection récursif Exercice On termine avec la version récursive du tri par sélection. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Donner le contrat de la fonction triSelectionRec. Donner la post-condition de la fonction triSelectionAux. Donner le variant de la fonction triSelectionAux. Donner les pré-conditions correspondant aux indices de la fonction triSelectionAux. Donner des pré-conditions supplémentaires à la fonction triSelectionAux, en vous inspirant des invariants trouvés lors de l'exercice précédent. Vérifier que Why3 réussit bien à vérifier tous les buts. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006K/ 006K /cours-polytech-peip2-algo/006K/ Preuves d'implémentations du tri par insertion TP L'objectif de ce TP est de revoir et compléter les spécifications des différentes implémentations du tri par insertion que nous avons vues en cours, afin de montrer que ces fonctions de tri par insertion renvoient toujours un tableau trié. Thibaut Benjamin 2026 1 5 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006S/ 006S /cours-polytech-peip2-algo/006S/ Utilisation de Why3 Rappel Nous utiliseront la version en ligne de Why3. N'oubliez pas de vous mettre en langage micro-c, de vérifier régulièrement que Why3 accepte ce que vous écrivez, et de sauvegarder régulièrement votre travail. Voici un petit récapitulatif de ce que l'on peut faire avec Why3: //@variant: Déclarer un variant pour une boucle ou une fonction récursive. //@requires: Déclarer une pré-condition pour une boucle. //@ensures: Déclarer une post-condition. //@predicate P (int tab[], int i) = ...: Définir un prédicat P prenant en paramètre un tableau tab et un entier i. //@function int f(int tab[], int i) = ...: Définir une fonction f prenant en paramètre un tableau tab et un entier i result: (Dans un contrat de fonction) accéder au résultat renvoyé par la fonction. length(tab): Retourner la longueur du tableau tab. forall i . Q (i): Quantification universelle exists i . Q (i) : Quantification existentielle old(e): (Dans une post-condition) Accéder à la valeur de l'expression e au moment de l'appel de la fonction. //@label : Déclarer un label. at(e,L) : Accéder à la valeur de l'expression e au point du programme indiqué par le label L. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006L/ 006L /cours-polytech-peip2-algo/006L/ Prédicats utiles Exercice On commence l'exercice en définissant des prédicats utiles à montrer que le tableau est trié Donner en Why3 la définition d'un prédicat trieJusque(int a[],int n) qui indique que les n premiers éléments du tableau a sont correctement triés. Donner en Why3 la définition d'un prédicat trie(int a[]) qui indique que le tableau a est entièrement trié, en utilisant le prédicat précédent. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006M/ 006M /cours-polytech-peip2-algo/006M/ Spécifications de la fonction d'insertion Exercice Donner le contrat pour la fonction d'insertion seulement les contrats pour le moment, pas de preuves Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); 0 && val < tab [j-1]){ tab[j] = tab[j-1]; j = j-1; } tab[j] = val; } }]]> Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006N/ 006N /cours-polytech-peip2-algo/006N/ Spécifications du tri par insertion récursif Exercice On donne les fonctions suivantes, permettant de réaliser le tri par insertion de manière récursive. Donner les contrats permettant d'assurer qu'à la fin du tri par insertion, le tableau est bien trié. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Vérifier à l'aide de Why3 que ces contrats sont bien valides. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006O/ 006O /cours-polytech-peip2-algo/006O/ Spécifications du tri par insertion itératif Exercice On donne la fonction suivante, permettant de réaliser le tri par insertion de manière itérative. Donner les contrats et les invariants permettant d'assurer qu'à la fin du tri par insertion, le tableau est bien trié. Prism.plugins.NormalizeWhitespace.setDefaults({ "remove-trailing": true, "remove-indent": true, "left-trim": true, "right-trim": true, }); Vérifier à l'aide de Why3 que les contrats pour cette fonction peuvent bien être prouvés grâce aux invariants donnés. Thibaut Benjamin 2026 1 2 http://thibautbenjamin.github.io/cours-polytech-peip2-algo/006P/ 006P /cours-polytech-peip2-algo/006P/ Preuve de la fonction d'insertion Exercice Le but de cet exercice est maintenant de donner invariants permettant de prouver les contrats pour la fonction d'insertion Donner un variant pour montrer que la boucle termine Regarder les obligations de preuves générées par Why3 correspondant aux accès des tableaux, et ajouter les invariants permettant de montrer que les accès sont toujours dans les bornes. Donner les invariants permettant de prouver les post-conditions de la fonction [Indice] Réfléchissez en terme de sections du tableau, et vérifiez quelles conditions ils satifont. [Indice] Il faut considérer 2 sections dans le tableau: les indices avant j et ceux après j. [Indice] Il faut une condition permettant de comparer la section de gauche et la section de droite. [Indice] N'oubliez pas de relier les sections du tableau avec la valeur val. Contributions